L'homologie persistante s'est imposée comme un outil important en analyse topologique des données et a trouvé des applications nombreuses dans d'autres sciences mais aussi de plus en plus en mathématiques. Son développement s'est fait autour de l'idée de chercher un invariant calculable associé à une discrétisation d'un espace topologique suffisamment régulier. La structure qui décrit ces invariants est précisément celle d'un module de persistance. Dans l'exposé nous présenterons le théorème de structure de ces objets, qui exprime qu'ils sont encodés par des "codes barres" et les théorème de stabilité qui permettent de contrôler la différence entre les invariants d'un espace et ceux d'une approximation.

Puis nous expliciterons des problématiques actuelles que sont le cas de la persistance multi-paramétriques et la question centrale de l'information géométrique contenue dans les codes barres. Nous illustrerons les résultats présentés par des exemples d'applications intra ou extra-mathématique.