Paul Lévy décrivait ainsi la complexité de la courbe brownienne plane : “Notre imagination se lassera plutôt de concevoir que la nature de fournir”. Néanmoins, les progrès récents dans la compréhension de la géométrie de cette courbe ont été nombreux (et dûs, entre autres, à Burdzy, Dynkin, Le Gall, Mountford, Pitman, Rosen, Taylor et Yor), par exemple à propos de l'allure de son enveloppe convexe, des composantes connexes de son complémentaire, de ses propriétés d'enroulement, de ses propriétés d'auto-intersection et du volume de son voisinage tubulaire : la saucisse de Wiener.