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Exposé Bourbaki 731 : Théorie de l'intersection et théorème de Riemann-Roch arithmétiques

Jean-Benoît BOST
Exposé Bourbaki 731 : Théorie de l'intersection et théorème de Riemann-Roch arithmétiques
  • Année : 1991
  • Tome : 201-202-203
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11G35, 14C17, 14C30, 14C35, 14C40
  • Pages : 43-88
  • DOI : 10.24033/ast.112

L'analogie entre corps de nombres (= extension K de degré fini de $\mathbf {Q}$) et corps de fonctions d'une variable (= corps des fonctions rationnelles sur une courbe algébrique C définie sur un corps) se prolonge en un parallèle entre variétés algébriques V de dimension n $>$ 0 définies sur K et familles de variétés algébriques paramétrées par C. Arakelov, puis Faltings, ont montré que lorsque n = 1, ce parallèle pouvait être poussé fort loin, à condition de munir V d'une structure plus riche, à savoir de choisir un modèle $\mathcal {V}$ de V sur l'anneau $\mathcal {O}_\mathrm {K}$ des entiers de K et une métrique hermitienne sur la surface de Riemann des points complexes de V. Gillet et Soulé ont généralisé cette “géométrie d'Arakelov” aux variétés de dimension arbitraire. Ils ont ainsi construit une théorie de l'intersection et des es caractéristiques sur des “variétés arithmétiques” générales, qui combine des constructions algébrico-géométriques (groupes de Chow et es caractéristiques sur les schémas) et des constructions de géométrie complexe hermitienne (courants de Green, es secondaires de Bott-Chern). Les invariants numériques que cette théorie permet de définir sont des nombres réels, et non plus des nombres entiers comme ceux définis au moyen de la théorie de l'intersection ique sur une variété algébrique. Gillet et Soulé ont aussi établi un “théorème de Riemann-Roch arakelovien”. La partie “géométrie hermitienne” de leur démonstration conduit à des problèmes analytiques délicats et utilise de façon cruciale des travaux de Bismut et Lebeau. La géométrie d'Arakelov en dimension supérieure a été récemment utilisée par Vojta et Faltings dans la démonstration de conjectures de Mordell et Lang sur la finitude des points rationnels de certaines variétés algébriques.

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