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Exposé Bourbaki 890 : Progrès récents en fonctorialité de Langlands

Exposé Bourbaki 890 : Recent progress on Langlands' functoriality

Guy HENNIART
Exposé Bourbaki 890 : Progrès récents en fonctorialité de Langlands
     
                
  • Année : 2002
  • Tome : 282
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 22E55, 22E50
  • Pages : 301-322
  • DOI : 10.24033/ast.557

Soit $f=\sum a_nq^n$ une forme modulaire ique, vecteur propre des opérateurs de Hecke. On sait lui associer une représentation $\ell $-adique $\rho : {\rm Gal}(\overline {\mathbb Q}/{\mathbb Q})\to {\rm GL}_2(\overline {\mathbb Q}_\ell )$ telle que $L(\rho ,s)$ soit à peu près $L(f,s)=\sum _{n\geq 1} a_nn^{-s}$. Si ${\rm Sym}^k:{\rm GL}_2 (\overline {\mathbb Q}_\ell )\to {\rm GL}_{k+1} (\overline {\mathbb Q}_\ell )$ est la représentation donnée par le produit symétrique $k$-ième, on espère que $L({\rm Sym}^k\circ \rho ,s)$ est la fonction $L$ d'un objet analytique comme la forme $f$, une représentation automorphe pour ${\rm GL}_{k+1}$ sur $\mathbb Q$. C'est un cas particulier des conjectures de fonctorialité de Langlands. Nous exposerons les résultats récents sur ces conjectures, et notamment les travaux de Kim et Shahidi pour ${\rm Sym}^3$ et ${\rm Sym}^4$.

To a ical modular form $f=\sum a_nq^n$ which is an eigenform for the Hecke operators are associated $\ell $-adic representations $\rho : {\rm Gal}(\overline {\mathbb Q}/{\mathbb Q})\to {\rm GL}_2(\overline {\mathbb Q}_\ell )$ such that $L(\rho ,s)$ is closely related to $L(f,s)=\sum _{n\geq 1} a_nn^{-s}$. If ${\rm Sym}^k:{\rm GL}_2 (\overline {\mathbb Q}_\ell )\to {\rm GL}_{k+1} (\overline {\mathbb Q}_\ell )$ is the representation given by the $k$-th symmetric power, we expect that $L({\rm Sym}^k\circ \rho ,s)$ is the $L$-function of an analytic object like $f$, an automorphic representation of ${\rm GL}_{k+1}$ sur $\mathbb Q$. That is a particular case of Langlands' functoriality conjectures. We describe the recent results on those conjectures, especially the work of Kim and Shahidi on ${\rm Sym}^3$ and ${\rm Sym}^4$.

Représentations automorphes, fonctorialité, conjectures de Langlands, valeur propre du laplacien
Automorphic representations, functoriality, Langlands conjectures, Laplacian eigenvalues

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