Quand les orbites d'un système dynamique passent indéfiniment près de tout point d'un compact $K$, on dit que $K$ est transitif. Quels sont les transitifs maximaux d'un système ? L'exemple des dynamiques hyperboliques de la théorie de Smale montre que la réponse à cette question est l'une des clefs de la description globale de la dynamique. Des idées de R. Mañé ainsi que des théorèmes perturbatifs (lemme de connexion d'Hayashi et ses variantes) ont permis récemment d'identifier, quand ils sont en nombre fini, les maximaux transitifs des systèmes génériques, et de montrer qu'ils sont projectivement hyperboliques. En contraposée, l'absence d'hyperbolicité projective assure l'existence générique d'une infinité de maximaux transitifs.