SMF

Familles de revêtements de la droite projective

Michel Emsalem
Familles de revêtements de la droite projective
  • Année : 1995
  • Fascicule : 1
  • Tome : 123
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11~G~30, 11~G~35, 12~F~12, 14~D~20, 14~D~22, 14~H~10, 14~H~30
  • Pages : 47-85
  • DOI : 10.24033/bsmf.2250
La première partie de cet article (§§1–6) est consacrée à la construction rigoureuse des espaces de Hurwitz, en utilisant des outils iques de topologie algébrique (action du groupoïde fondamental, fibrations, suites exactes d'homotopie). Ces espaces — introduits par M. Fried [Fr] — paramètrent les es d'isomorphismes de revêtements avec certaines données de ramification ou bien de $G$-revêtements de $\mathbb {P}_1$. La seconde partie (§7) est consacrée à la situation algébrique et en particulier à la question du corps de définition des revêtements. On y donne une démonstration nouvelle par certains aspects d'un théorème de Fried et Völklein [Fr-Völ] qui assure que les espaces de Hurwitz introduits sont définissables sur $\mathbb {Q}$ (théorème 9). On rappelle enfin, comme application que la solution de la version régulière du problème inverse de Galois sur $\mathbb {Q}(T)$ est équivalente à la preuve de l'existence de points rationnels sur $\mathbb {Q}$ sur les espaces de Hurwitz des $G$-revêtements de $\mathbb {P}_1$.
The first part of this article (§§1-6) is devoted to a rigorous construction of the Hurwitz spaces, using ical tools of algebraic topology (action of the fundamental group, fibrations, exact sequence of homotopy). Those spaces introduced by Fried [Fr], parametrize the isomorphism es of coverings with certain data of ramification or of $G$-coverings of $\mathbb {P}_1$. The second part (§7) is devoted to the algebraic situation, in particular to the question of field of definition of coverings. A new proof (in some aspects) is given of a theorem of Fried and Völklein [Fr-Völ] which asserts that these Hurwitz spaces are defined over $\mathbb {Q}$ (théorème 9). As an application one recalls that the solution of the regular version of the inverse Galois problem over $\mathbb {Q}(T)$ is equivalent to the proof of the existence of rational points on the Hurwitz spaces parametrizing the $G$-coverings of $\mathbb {P}_1$.
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