Les tranches dans les grassmanniennes affines généralisées $\overline{\mathcal{W}}_\mu^\lambda$ sont des variétés affines introduites par Braverman, Finkelberg et Nakajima au cours de leur étude des branches de Coulomb pour les théories de jauge $3d$ $\mathcal{N}=4$ de type carquois.  Nous prouvons une de leurs conjectures, en montrant que l'ouvert affine $\mathcal{W}_\mu^\lambda \subseteq \overline{\mathcal{W}}_\mu^\lambda$ est lisse. Une décomposition précise en feuilles symplectiques en découle.  Notre preuve est valable sur un anneau arbitraire et, en particulier, nous montrons que l'ensemble des points complexes $\mathcal{W}_\mu^\lambda(\mathbb{C})$ forme une variété complexe.  Un aspect subtil de notre méthode est l'emploi essentiel des ind-schémas qui sont formellement lisses mais qui ne sont pas lisses.