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Feuilles symplectiques pour les tranches dans les grassmanniennes affines généralisées

Symplectic leaves for generalized affine Grassmannian slices

Dinakar MUTHIAH & Alex WEEKES
Feuilles symplectiques pour les tranches dans les grassmanniennes affines généralisées
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 1
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14B05; 20G15, 53D17, 81T13
  • Pages : 287-298
  • DOI : 10.24033/asens.2534

Les tranches dans les grassmanniennes affines généralisées $\overline{\mathcal{W}}_\mu^\lambda$ sont des variétés affines introduites par Braverman, Finkelberg et Nakajima au cours de leur étude des branches de Coulomb pour les théories de jauge $3d$ $\mathcal{N}=4$ de type carquois.  Nous prouvons une de leurs conjectures, en montrant que l'ouvert affine $\mathcal{W}_\mu^\lambda \subseteq \overline{\mathcal{W}}_\mu^\lambda$ est lisse. Une décomposition précise en feuilles symplectiques en découle.  Notre preuve est valable sur un anneau arbitraire et, en particulier, nous montrons que l'ensemble des points complexes $\mathcal{W}_\mu^\lambda(\mathbb{C})$ forme une variété complexe.  Un aspect subtil de notre méthode est l'emploi essentiel des ind-schémas qui sont formellement lisses mais qui ne sont pas lisses.

The generalized affine Grassmannian slices $\overline{W}_\mu^\lambda$ are algebraic varieties introduced by Braverman, Finkelberg, and Nakajima in their study of Coulomb branches of $3d$ $\mathcal{N}=4$ quiver gauge theories.  We prove a conjecture of theirs by showing that the dense open subset $W_\mu^\lambda \subseteq \overline{W}_\mu^\lambda$ is smooth. An explicit decomposition of {$\overline{W}_\mu^\lambda$} into symplectic leaves follows as a corollary. Our argument works over an arbitrary ring and in particular implies that the complex points $W_\mu^\lambda(C)$ form a smooth holomorphic symplectic manifold.
A subtle aspect of the method is our essential use of ind-schemes that are formally smooth but not smooth.

Grassmanniennes affines, branches de Coulomb, géométrie Poisson, géométrie symplectique, monopôles singuliers, formellement lisse
Affine Grassmannians, Coulomb branches, Poisson geometry, symplectic geometry, singular monopoles, formal smoothness

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