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Décomposition polaire des semi-groupes engendrés par les opérateurs quadratiques non-autoadjoints et effets régularisants

Polar decomposition of semigroups generated by non-selfadjoint quadratic differential operators and regularizing effects

Paul ALPHONSE & Joackim BERNIER
Décomposition polaire des semi-groupes engendrés par les opérateurs quadratiques non-autoadjoints et effets régularisants
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 2
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35B65, 35H20, 65P10, 47A60
  • Pages : 323-382
  • DOI : 10.24033/asens.2536

On caractérise géométriquement les effets régularisants des semi-groupes engendrés par les opérateurs quadratiques accrétifs. En corollaire, on déduit des inégalités sous-elliptiques associées à ces opérateurs, considérées comme optimales. Ces résultats démontrent des conjectures de M. Hitrik, K. Pravda-Starov et J. Viola. La démonstration repose sur une nouvelle représentation de la décomposition polaire de ces semi-groupes. En particulier, on écrit la partie autoadjointe comme un opérateur d'évolution engendré par la quantification de Weyl d'une forme quadratique positive dépendante du temps, pour laquelle on établit une minoration anisotrope précise.

We characterize geometrically the regularizing effects of the semigroups generated by accretive non-selfadjoint quadratic differential operators. As a byproduct, we establish the subelliptic estimates enjoyed by these operators, being expected to be optimal. These results prove conjectures by M. Hitrik, K. Pravda-Starov and J. Viola. The proof relies on a new representation of the polar decomposition of these semigroups. In particular, we identify the selfadjoint part as the evolution operator generated by the Weyl quantization of a time-dependent real-valued nonnegative quadratic form for which we prove a sharp anisotropic lower bound.

Opérateurs quadratiques, décomposition polaire, méthode de splitting, opérateurs intégraux de Fourier, estimations sous-elliptiques
Quadratic operators, Polar decomposition, Splitting method, Fourier integral operators, Subelliptic estimates

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