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Formation de singularité pour l'équation de Burgers avec viscosité transverse

Singularity formation for Burgers' equation with transverse viscosity

Charles COLLOT, Tej-Eddine GHOUL & Nader MASMOUDI
Formation de singularité pour l'équation de Burgers avec viscosité transverse
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 4
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35M10, 35L67, 35K58, 35Q35, 35A20, 35B35, 35B40, 35B44
  • Pages : 1047-1133
  • DOI : 10.24033/asens.2513

L'équation de Burgers avec viscosité transverse $$pa_tu+upa_xu-pa_{yy}u=0, \ \ (x,y)\in \Bbb R^2, \ \ u:[0,T)\times \mathbb R^2\rightarrow \mathbb R$$ est considérée. Nous construisons et décrivons précisément une famille de solutions qui deviennent singulières en temps fini par la divergence de leur gradient. A l'ordre principal, la solution est donnée par un profil auto-similaire rétrograde de l'équation de Burgers dans la direction associe à la variable $x$, et dont les paramètres d'échelle évoluent selon des équations paraboliques dans la direction associée à la variable $y$, l'une d'elle étant l'équation de la chaleur semi-linéaire quadratique. Nous développons de nouvelles techniques pour ce problème d'explosion mixte hyperbolique et parabolique, revisitons la construction de solutions explosives plates pour l'équation de la chaleur semi-linéaire, et l'auto-similarité des singularités pour l'équation de Burgers non visqueuse.

 

We consider Burgers' equation with  transverse viscosity $$pa_tu+upa_xu-pa_{yy}u=0, \ \ (x,y)\in \Bbb R^2, \ \ u:[0,T)\times \mathbb R^2\rightarrow \mathbb R.$$ We construct and describe precisely a family of solutions which become singular in finite time by having their gradient becoming unbounded. To leading order, the solution is given by a backward self-similar solution of Burgers' equation along the $x$ variable, whose scaling parameters evolve according to parabolic equations along the $y$ variable, one of them being the quadratic semi-linear heat equation. We develop a new framework adapted to this mixed hyperbolic/parabolic blow-up problem, revisit the construction of flat blow-up profiles for the semi-linear heat equation, and the self-similarity in singularities of the inviscid Burgers' equation.

Singularité, explosion, auto-similarité, stabilité, équation de Burgers, équations de Prandtl, équation de la chaleur non linéaire
Blow-up, singularity, self-similarity, stability, Burgers' equation, Prandtl's equations, nonlinear heat equation

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