Le groupe fondamental d'une variété compacte agit sur le bord à l'infini de son revêtement universel. Nous démontrons un théorème de rigidité topologique pour cette famille d'actions: toute action suffisamment proche de cette action standard est semi-conjuguée à celle-ci.
Avec la même stratégie de preuve, nous démontrons un théorème de rigidité global pour les actions sur le cercle d'une variété de dimension 3 avec un "slithering" de Thurston. Comme applications, nous construisons pour tout $N$ strictement positif une variété hyperbolique de dimension 3 qui admet au moins $N$ flots d'Anosov topologiquement inéquivalents. Cette construction donne une réponse positive à une question de Christy de la liste de Kirby. Nous donnons aussi une preuve plus conceptuelle d'un théorème de la deuxième auteure sur la rigidité globale des actions géométriques d'un groupe de surface sur le cercle.