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Un théorème de Stokes généralisé sur les courants entiers

A generalized Stokes' Theorem on integral currents

Antoine JULIA
Un théorème de Stokes généralisé sur les courants entiers
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 4
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 49Q15, 28A25, 26B20, 14P10
  • Pages : 937-968
  • DOI : 10.24033/asens.2510

On étudie la validité du théorème de Stokes sur des sous-variétés singulières  de l'espace euclidien pour des formes différentielles admettant des singularités. Les résultats sont présentés dans le contexte de l'intégrale de Lebesgue, mais sont démontrés grâce à des techniques d'intégration non-absolument convergente dans l'esprit de W. F. Pfeffer, et de l'intégrale de Henstock-Kurzweil.  On démontre un théorème de Stokes généralisé sur les courants entiers de dimension $m$ dont les ensembles singuliers ont un contenu de Minkowski relatif de dimension $m-1$  fini. De tels courants incluent les courants entiers minimiseurs de masse  et les chaînes semi-algébriques. Par contraste, on construit un courant entier de dimension $2$ dans $R^3$ ayant un seul point singulier et ne vérifiant pas ce théorème de Stokes généralisé.

  The purpose of this paper is to study the validity of Stokes' Theorem on singular submanifolds, for differential forms with singularities in Euclidean space. The results are presented in the context of Lebesgue Integration, but their proofs involve techniques from gauge integration in the spirit of R. Henstock, J. Kurzweil and W. F. Pfeffer. We prove a generalized Stokes' Theorem on integral currents of dimension $m$ whose singular sets have finite $m-1$ dimensional intrinsic Minkowski content. This condition applies in particular to codimension $1$ mass minimizing integral currents with smooth boundary and to semi-algebraic chains. Conversely, we give an example of integral current of dimension $2$ in $R^3$, with only one singular point, to which our version of Stokes' Theorem does not apply.

Intégration non-absolument convergente, courants entiers, singularités effaçables, théorème de Stokes, singularités
Gauge integration, integral currents, removable singularities, Stokes' Theorem, singularity theory

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