Courbes de genre deux sur les surfaces abéliennes
Genus two curves on Abelian surfaces

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- Année : 2022
- Fascicule : 4
- Tome : 55
- Format : Électronique
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : 14K12, 14H20, 14H45, 14K02, 14H40
- Pages : 905-918
- DOI : 10.24033/asens.2508
Cet article traite des singularités des courbes de genre $2$ sur une surface abélienne polarisée de type $(d_1,d_2)$ générale. Par analogie avec les résultats de Chen concernant les courbes rationnelles sur les surfaces $K3$ [6, 7], il est naturel de se demander si toutes ces courbes sont nodales. Nous démontrons que c'est bien le cas si et seulement si $d_2$ n'est pas divisible par $4$. Dans le cas où $d_2$ est un multiple de $4$, nous exhibons des courbes de genre $2$ dans $|L|$ ayant un point triple, quadruple ou sextuple. Nous démontrons que ce sont les seules singularités non nodales possibles pour une courbe de genre $2$ dans $|L|$. En outre, sans hypothèse sur $d_1$ et $d_2$, nous démontrons l'existence d'au moins une courbe nodale de genre $2$ dans $|L|$. On obtient en corollaire que toutes les variétés de Severi sur une surface abélienne générale sont non vides, généralisant ainsi [18,Thm. 1.1]aux polarisations non-primitives.