Cet article traite des singularités des courbes de genre $2$ sur une surface abélienne polarisée de type $(d_1,d_2)$ générale. Par analogie avec les résultats de Chen concernant les courbes rationnelles sur les surfaces $K3$ [6, 7], il est naturel de se demander si toutes ces courbes sont nodales. Nous démontrons que c'est bien le cas si et seulement si $d_2$ n'est pas divisible par $4$. Dans le cas où $d_2$ est un multiple de $4$, nous exhibons des courbes de genre $2$ dans $|L|$ ayant un point triple, quadruple ou sextuple. Nous démontrons que ce sont les seules singularités non nodales possibles pour une courbe de genre $2$ dans $|L|$. En outre, sans hypothèse sur $d_1$ et $d_2$, nous démontrons l'existence d'au moins une courbe nodale de genre $2$ dans $|L|$. On obtient en corollaire que toutes les variétés de Severi sur une surface abélienne générale sont non vides, généralisant ainsi [18,Thm. 1.1]aux polarisations non-primitives.