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Courbes de genre deux sur les surfaces abéliennes

Genus two curves on Abelian surfaces

Andreas Leopold KNUTSEN & Margherita LELLI-CHIESA
Courbes de genre deux sur les surfaces abéliennes
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 4
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14K12, 14H20, 14H45, 14K02, 14H40
  • Pages : 905-918
  • DOI : 10.24033/asens.2508

Cet article traite des singularités des courbes de genre $2$ sur une surface abélienne polarisée de type $(d_1,d_2)$ générale. Par analogie avec les résultats de Chen concernant les courbes rationnelles sur les surfaces $K3$ [6, 7], il est naturel de se demander si toutes ces courbes sont nodales. Nous démontrons que c'est bien le cas si et seulement si $d_2$ n'est pas divisible par $4$. Dans le cas où $d_2$ est un multiple de $4$, nous exhibons des courbes de genre $2$ dans $|L|$ ayant un point triple, quadruple ou sextuple. Nous démontrons que ce sont les seules singularités non nodales possibles pour une courbe de genre $2$ dans $|L|$. En outre, sans hypothèse sur $d_1$ et $d_2$, nous démontrons l'existence d'au moins une courbe nodale de genre $2$ dans $|L|$. On obtient en corollaire que toutes les variétés de Severi sur une surface abélienne générale sont non vides, généralisant ainsi [18,Thm. 1.1]aux polarisations non-primitives.

This paper deals with singularities of genus $2$ curves on a general $(d_1,d_2)$-polarized abelian surface $(S,L)$. In analogy with Chen's results concerning rational curves on K3 surfaces [6, 7], it is natural to ask whether all such curves are nodal. We prove that this holds true if and only if $d_2$ is not divisible by $4$. In the cases where $d_2$ is a multiple of $4$, we exhibit genus $2$ curves in $|L|$ that have a triple, $4$-tuple or $6$-tuple point. We show that these are the only possible types of unnodal singularities of a genus $2$ curve in $|L|$. Furthermore, with no assumption on $d_1$ and $d_2$, we prove the existence of at least one nodal genus $2$ curve in $|L|$. As a corollary, we obtain nonemptiness of all Severi varieties on general abelian surfaces and hence generalize [18,Thm. 1.1]to nonprimitive polarizations.


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