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Courbure scalaire macroscopique et effondrement local

Macroscopic scalar curvature and local collapsing

Stéphane SABOURAU
Courbure scalaire macroscopique et effondrement local
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 4
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 53C23; 53C20, 51K10
  • Pages : 919-936
  • DOI : 10.24033/asens.2509

Considérons une $n$\variété fermée $M$ admettant une métrique riemannienne à courbure strictement négative.
Nous montrons que pour toute métrique riemannienne sur $M$ de volume suffisamment petit, il existe un point dans le revêtement universel de $M$ tel que le volume des boules de rayon $r \geq 1$ centrées en ce point est supérieur ou égal au volume de la boule de même rayon dans l'espace hyperbolique de dimension $n$. Nous donnons également une interprétation de ce résultat en termes de courbure scalaire macroscopique. Ce résultat, valable plus généralement dans le contexte des espaces de longueur polyédraux, est lié à une question de Guth. Sa démonstration repose sur une généralisation de progrès récents en géométrie métrique concernant la largeur d'Alexandrov/Urysohn mettant en jeu le volume des boules de rayon d'une certaine amplitude avec un effrondrement à différentes échelles.

Consider a closed $n$-manifold~$M$ admitting a negatively curved Riemannian metric.
We show that for every Riemannian metric on $M$ of sufficiently small volume, there is a point in the universal cover of $M$ such that the volume of every ball of radius $r \geq 1$ centered at this point is greater or equal to the volume of the ball of the same radius in the hyperbolic $n$-space. We also give an interpretation of this result in terms of macroscopic scalar curvature. This result, which holds more generally in the context of polyhedral length spaces, is related to a question of Guth. Its proof relies on a generalization of recent progress in metric geometry about the Alexandrov/Urysohn width involving the volume of balls of radius in a certain range with collapsing at different scales.

Courbure scalaire macroscopique, croissance volumique, largeur d'Alexandrov/Urysohn, effondrement, constante de Margulis, croissance exponentielle
Macroscopic scalar curvature, volume growth, Alexandrov/Urysohn width, collapsing, Margulis constant, exponential growth

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