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Dimères et agencements de cercles

Dimers and circle patterns

Richard KENYON, Wai Yeung LAM, Sanjay RAMASSAMY & Marianna RUSSKIKH
Dimères et agencements de cercles
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 3
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 82B20 52C26
  • Pages : 865-903
  • DOI : 10.24033/asens.2507

Nous établissons une correspondance entre le modèle de dimères sur un graphe bipartite et un agencement de cercles avec la combinatoire de ce graphe, valable pour des graphes plongés sur le plan ou sur le tore. Les poids positifs sur les faces du graphe fournissent des coordonnées globales sur l'espace des agencements de cercles dont le dual est plongé. Via cette correspondance, qui étend le cas isoradial découvert précédemment, le renouvellement urbain (mouvement local pour les modèles de dimères) est équivalent au mouvement de Miquel (mouvement local pour les agencements de cercles). Il en découle que la dynamique de Miquel sur les agencements de cercles est un système intégrable discret gouverné par la récurrence de l'octaèdre. Comme cas particuliers de ces plongements comme agencements de cercles, on retrouve les plongements harmoniques pour les réseaux de résistances et les s-plongements pour le modèle d'Ising.

We establish a correspondence between the dimer model on a bipartite graph and a circle pattern with the combinatorics of that graph, which holds for graphs that are either planar or embedded on the torus. The set of positive face weights on the graph gives a set of global coordinates on the space of circle patterns with embedded dual. Under this correspondence, which extends the previously known isoradial case, the urban renewal (the local move for dimer models) is equivalent to the Miquel move (the local move for circle patterns). As a consequence, we show that \emph{Miquel dynamics} on circle patterns is a discrete integrable system governed by the octahedron recurrence. As special cases of these circle pattern embeddings, we recover harmonic embeddings for resistor networks and s-embeddings for the Ising model.

 

Agencements de cercles, modèles de dimères, dynamique de Miquel, systèmes intégrables
Circle patterns, Dimer models, Miquel dynamics, Integrable systems

Électronique
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