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Une dichotomie pour les mesures d'entropie maximale près de l'application du temps 1 d'un flot d'Anosov transitif

A dichotomy for measures of maximal entropy near time-one maps of transitive Anosov flows

Jérôme BUZZI, Todd FISHER & Ali TAHZIBI
Une dichotomie pour les mesures d'entropie maximale près de l'application du temps 1 d'un flot d'Anosov transitif
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 4
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37C40, 37D30, 37A35, 37D35
  • Pages : 969-1002
  • DOI : 10.24033/asens.2511

Nous montrons que l'application du temps $1$ de tout flot d'Anosov transitif est dans l'adhérence des difféomorphismes présentant robustement la dichotomie suivante: ou bien aucune mesure maximisant l'entropie n'est hyperbolique, ou bien il existe exactement deux mesures ergodiques maximisant l'entropie, l'une ayant un exposant central strictement positif, l'autre strictement négatif.

Nous établissons cette dichotomie pour certains difféomorphismes partiellement hyperboliques isotopes à l'identité sous l'hypothèse de la minimalité de leurs feuilletages invariants forts. Notre preuve s'appuie sur l'approche développée par Margulis dans le cas des flots d'Anosov et la construction de familles de mesures convenables sur les différents feuilletages dynamiques.

 

We show that time-one maps of transitive Anosov flows of compact manifolds are accumulated by diffeomorphisms robustly satisfying the following dichotomy: either all of the measures of maximal entropy are non-hyperbolic, or there are exactly two ergodic measures of maximal entropy, one with a positive central exponent and the other with a negative central exponent.

We establish this dichotomy for certain partially hyperbolic diffeomorphisms isotopic to the identity whenever both of their strong foliations are minimal. Our proof builds on the approach developed by Margulis for Anosov flows where he constructs suitable families of measures on the dynamical foliations.

Dynamical systems, smooth ergodic theory, partially hyperbolic systems and dominated splittings, entropy and other invariants, measures maximizing the entropy, thermodynamic formalism and equilibrium states

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