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Formes différentielles logarithmique sur espaces adiques discrètement annelés

Logarithmic differentials on discretely ringed adic spaces

Katharina HÜBNER
Formes différentielles logarithmique sur espaces adiques discrètement annelés
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  • Année : 2025
  • Fascicule : 2
  • Tome : 153
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14G17, 14A21, 13N05
  • Pages : 513-558
  • DOI : 10.24033/bsmf.2905

Pour un espace adique lisse et discrètement annelé $\mathcal{X}$ sur un corps $k$ on défine un sous-faisceau $\Omega_{\mathcal{X}}^+$ du faisceau des formes différentielles $\Omega_{\mathcal{X}}$. Il est défini d'une manière similaire au sous-faisceau $\mathcal{O}^+_{\mathcal{X}}$ de $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}$ en utilisant la semi-norme de Kähler sur $\Omega_{\mathcal{X}}$. On donne une description de $\Omega^+_{\mathcal{X}}$ en fonction de formes différentielles logarithmiques.

Si $\mathcal{X}$ est de la forme $\mathrm{Spa}(X,\bar{X})$ pour un schéma $\bar{X}$ et un sous-schéma ouvert $X$ tel que la structure logarithmique correspondante sur $\bar{X}$ est lisse, on démontre que $\Omega^+_{\mathcal{X}}(\mathcal{X})$ est isomorphe aux formes différentielles logarithmiques de $(X,\bar{X})$.

On a smooth discretely ringed adic space $\mathcal{X}$ over a field $k$, we define a subsheaf $\Omega_{\mathcal{X}}^+$ of the sheaf of differentials $\Omega_{\mathcal{X}}$. It is defined in a similar way to the subsheaf $\mathcal{O}^+_{\mathcal{X}}$ of $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}$ using Kähler seminorms on $\Omega_{\mathcal{X}}$. We give a description of $\Omega^+_{\mathcal{X}}$ in terms of logarithmic differentials.

If $\mathcal{X}$ is of the form $\mathrm{Spa}(X,\bar{X})$ for a scheme $\bar{X}$ and an open subscheme $X$ such that the corresponding log structure on $\bar{X}$ is smooth, we show that $\Omega^+_{\mathcal{X}}(\mathcal{X})$ is isomorphic to the logarithmic differentials of $(X,\bar{X})$.

Différentielle de Kähler, géometrie logarithmique, espaces adiques, anneaux de valuation
Kähler differentials, log geometry, adic spaces, valuation rings

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