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La controverse de 1874 entre Camille Jordan et Leopold Kronecker

The 1874 controversy between Camille Jordan and Leopold Kronecker

Frédéric Brechenmacher
La controverse de 1874 entre Camille Jordan et Leopold Kronecker
  • Année : 2007
  • Fascicule : 2
  • Tome : 13
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 01A55, 01A85, 11-03, 11C20, 11E04, 11E39, 15-03, 15A15, 15A18, 15A21, 15A22, 15A36, 15A63, 15A90, 20-03, 20G15, 34-03, 34A05, 70-03
  • Pages : 187-257

Une vive querelle oppose en 1874 Camille Jordan et Leopold Kronecker sur l’organisation de la théorie des formes bilinéaires, considérée comme permettant un traitement « général » et « homogène » de nombreuses questions développées dans des cadres théoriques variés au xix e siècle et dont le problème principal est reconnu comme susceptible d’être résolu par deux théorèmes énoncés indépendamment par Jordan et Weierstrass. Cette controverse, suscitée par la rencontre de deux théorèmes que nous considérerions aujourd’hui équivalents, nous permettra de questionner l’identité algébrique de pratiques polynomiales de manipulation de « formes » mises en œuvre sur une période antérieure aux approches structurelles de l’algèbre linéaire qui donneront à ces pratiques l’identité de méthodes de caractérisation des classes de similitudes de matrices. Nous montrerons que les pratiques de réductions canoniques et de calculs d’invariants opposées par Jordan et Kronecker manifestent des identités multiples indissociables d’un contexte social daté et qui dévoilent des savoirs tacites, des modes de pensées locaux mais aussi, au travers de regards portés sur une histoire à long terme impliquant des travaux d’auteurs comme Lagrange, Laplace, Cauchy ou Hermite, deux philosophies internes sur la signification de la généralité indissociables d’idéaux disciplinaires opposant algèbre et arithmétique. En questionnant les identités culturelles de telles pratiques, cet article vise à enrichir l’histoire de l’algèbre linéaire, souvent abordée dans le cadre de problématiques liées à l’émergence de structures et par l’intermédiaire de l’histoire d’une théorie, d’une notion ou d’un mode de raisonnement.

During the whole of 1874, Camille Jordan and Leopold Kronecker quarrelled vigorously over the organisation of the theory of bilinear forms. That theory promised a “general” and “homogeneous” treatment of numerous questions arising in various 19th-century theoretical contexts, and it hinged on two theorems, stated independently by Jordan and Weierstrass, that would today be considered equivalent. It was, however, the perceived difference between those two theorems that sparked the 1874 controversy. Focusing on this quarrel allows us to explore the algebraic identity of the polynomial practices of the manipulations of forms in use before the advent of structural approaches to linear algebra. The latter approaches identified these practices with methods for the classification of similar matrices. We show that the practices—Jordan’s canonical reduction and Kronecker’s invariant computation—reflect identities inseparable from the social context of the time. Moreover, these practices reveal not only tacit knowledge, local ways of thinking, but also—in light of a long history tracing back to the work of Lagrange, Laplace, Cauchy, and Hermite—two internal philosophies regarding the significance of generality which are inseparable from two disciplinary ideals opposing algebra and arithmetic. By interrogating the cultural identities of such practices, this study aims at a deeper understanding of the history of linear algebra without focusing on issues related to the origins of theories or structures.

Pratiques algébriques. Généralité. Jordan. Kronecker. Weierstrass. Formes canoniques. Invariants. Diviseurs élémentaires. Facteurs invariants. Substitutions linéaires. Formes bilinéaires. Matrices. Théorie spectrale. Algèbre linéaire. Algèbre. Arithmétique. Mécanique.
Algebraic practices. Generality. Jordan. Kronecker. Weierstrass. Canonical forms. Invariants; Elementary divisors. Invariant factors. Linear substitutions. Bilinear forms. Matrices. Spectral theory. Linear algebra. Algebra. Arithmetic. Mechanics.
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