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La gravité quantique de Liouville comme accouplement d'arbres

Liouville quantum gravity as a mating of trees

Bertrand DUPLANTIER, Jason MILLER, Scott SHEFFIELD
La gravité quantique de Liouville comme accouplement d'arbres
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  • Année : 2021
  • Tome : 427
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60D05, 82B20, 82B41, 60J67
  • Nb. de pages : viii+258
  • ISBN : 978-2-85629-941-8
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1149

Il existe une manière simple de recoller  une paire couplée d’arbres continus aléatoires afin d’obtenir une sphère topologique. La sphère vient équipée d’une mesure et d’une courbe remplissante (qui décrit l’interface  des arbres). Nous présentons une manière explicite et canonique de plonger cette sphère dans $ \mathbf C \cup \{ \infty \}$. Dans ce plongement, la mesure est une certaine forme de gravité quantique de Liouville de paramètre $ \gamma \in (0,2)$, et la courbe est un SLE$ _{\kappa'}$ remplissant l’espace, avec $ \kappa' = 16/\gamma^2$.

Y parvenir requiert de développer une vaste palette d’outils pour  travailler avec les surfaces de gravité quantique de Liouville. Nous montrons comment souder conformément ce que nous appellons des coins quantiques, afin d’obtenir de nouveaux coins quantiques de poids différents. Nous construisons  en volume fini disques et sphères quantiques de types variés, et donnons une description poissonienne de l’ensemble des disques quantiques découpés par un process SLE$ _{\kappa}(\rho)$ intersectant un bord, avec $ \kappa \in (0,4)$. Nous établissons aussi une description en arbres de Lévy de l’ensemble des disques quantiques situés sur la gauche (ou sur la droite) d’un SLE$ _{\kappa'}$ avec $ \kappa' \in (4,8)$. Nous montrons qu’étant donnés deux tels arbres, échantillonnés indépendamment, il existe p.s. une manière canonique de les zipper  ensemble et de recouvrer le SLE$ _{\kappa'}$.

La loi de la paire d’arbres aléatoires continus que nous étudions avait été  obtenue dans un travail antérieur comme limite d’échelle de la paire (arbre/arbre dual) associée à une carte planaire aléatoire décorée par un modèle de Fortuin-Kasteleyn (F-K). Pris dans leur ensemble, ces résultats impliquent qu’une telle carte décorée par un modèle de F-K a pour limite d’échelle une gravité quantique de Liouville décorée  d’un ensemble de boucles conforme (CLE), dans une certaine topologie de  structure arborescente.

There is a simple way to ‘glue together” a coupled pair of continuum random trees (CRTs) to produce a topological sphere.  The sphere comes equipped with a measure and a space-filling curve (which describes the ‘interface” between the trees). We present an explicit and canonical way to embed the sphere in $ \mathbf C \cup \{ \infty \}$.  In this embedding, the measure is a form of Liouville quantum gravity (LQG) with parameter $ \gamma \in (0,2)$, and the curve is space-filling SLE$ _{\kappa'}$ with $ \kappa' = 16/\gamma^2$.

Achieving this requires us to develop an extensive suite of tools for working with LQG surfaces.  We explain how to conformally weld so-called ‘quantum wedges” to obtain new quantum wedges of different weights.  We construct finite-volume quantum disks and spheres of various types, and give a Poissonian description of the set of quantum disks cut off by a boundary-intersecting SLE$ _{\kappa}(\rho)$ process with $ \kappa \in (0,4)$.  We also establish a Lévy tree description of the set of quantum disks to the left (or right) of an  SLE$ _{\kappa'}$ with $ \kappa' \in (4,8)$.  We show that given two such trees, sampled independently, there is a.s.a canonical way to ‘zip them together” and recover the SLE$ _{\kappa'}$. 

The law of the CRT pair we study was shown in an earlier paper to be the scaling limit of the discrete tree/dual-tree pair associated to an FK-decorated random planar map (RPM).  Together, these results imply that FK-decorated RPM scales to CLE-decorated LQG in a certain ‘tree structure” topology.

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