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Large KAM tori for perturbations of the defocusing NLS equation

Large KAM tori for perturbations of the defocusing NLS equation

Massimiliano BERTI, Thomas KAPPELER, Riccardo MONTALTO
Large KAM tori for perturbations 
of the defocusing NLS equation
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  • Année : 2018
  • Tome : 403
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37K55, 35Q55
  • Nb. de pages : viii+160
  • ISBN : 978-2-85629-892-3
  • ISSN : 0303-1179,2492-5926

Dans ce travail on démontre que toutes les perturbations hamiltoniennes de l'équation de Schrödinger non linéaire défocalisante (dNLS), qui sont semi-linéaires et suffisamment petites, admettent un grand nombre de tores invariants de taille et de dimension finie arbitrairement grande. Aucune condition de symétrie n'est supposée pour la perturbation et il n'est pas nécessaire qu'elle soit analytique. La difficulté principale est la présence des paires de fréquences de l'équation dNLS qui sont presque résonnantes. La preuve est basée sur l'intégrabilité de l'équation dNLS et en particulier sur le fait, que la partie nonlinéaire des coordonnées de Birkhoff est régularisante. On applique une procédure d'itération de type Newton-Nash-Moser pour construire les tores invariants. Les éléments clef du schéma de la procédure d'itération sont la réduction de certains opérateurs linéaires à des opérateurs, qui sont $2 \times 2$ bloc-diagonaux à coefficients constants, et des estimations asymptotiques précises de leurs valeurs propres.

We prove that small, semi-linear Hamiltonian perturbations of the defocusing nonlinear Schrödinger (dNLS) equation on the circle have an abundance of invariant tori of any size and (finite) dimension which support quasi-periodic solutions. When compared with previous results the novelty consists in considering perturbations which do not satisfy any  symmetry condition (they may depend on $x$ in an arbitrary way) and  need not be analytic. The main difficulty is posed by pairs of almost resonant dNLS frequencies.  The proof is based on the integrability of the dNLS equation, in particular the fact that the nonlinear part of the Birkhoff coordinates is one smoothing. We implement a Newton-Nash-Moser iteration scheme to construct the invariant tori. The key point is the reduction of linearized operators, coming up in the iteration scheme, to $ 2 \times 2 $ block diagonal ones with constant coefficients together with sharp asymptotic estimates of their eigenvalues.

Defocusing NLS equation, KAM for PDE, Nash-Moser theory, invariant tori
Defocusing NLS equation, KAM for PDE, Nash-Moser theory, invariant tori
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