On montre que la forme normale de Birkhoff au voisinage d'un tore KAM à torsion définie est donnée par la fonction $\alpha $ de Mather. Cette observation est due à Siburg [Si2], [Si1], en dimension 2. Elle clarifie le lien entre les coefficients de Birkhoff et le spectre d'action au voisinage du tore. Notre extension à la dimension supérieure est rendue possible par une simplification de la preuve donnée dans [Si2].