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L'équation de Szegő cubique

The cubic Szegő equation

Patrick Gérard, Sandrine Grellier
L'équation de Szegő cubique
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  • Année : 2010
  • Tome : 43
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35B15, 37K10, 47B35
  • Pages : 761-810
  • DOI : 10.24033/asens.2133
On considère l'équation hamiltonienne suivante sur l'espace de Hardy du cercle $i\partial _tu=\Pi (|u|^2u)\ ,$ où $\Pi $ désigne le projecteur de Szegő. Cette équation est un cas modèle d'équation sans aucune propriété dispersive. On établit qu'elle admet une paire de Lax et une infinité de lois de conservation en involution, et qu'elle peut être approchée par une suite de systèmes hamiltoniens de dimension finie complètement intégrables. Néanmoins, on met en évidence des phénomènes d'instabilité illustrant la dégénérescence de cette structure complètement intégrable. Enfin, on caractérise les ondes progressives de ce système.
We consider the following Hamiltonian equation on the $L^2$ Hardy space on the circle, $i\partial _tu=\Pi (|u|^2u)\ ,$ where $\Pi $ is the Szegő projector. This equation can be seen as a toy model for totally non dispersive evolution equations. We display a Lax pair structure for this equation. We prove that it admits an infinite sequence of conservation laws in involution, and that it can be approximated by a sequence of finite dimensional completely integrable Hamiltonian systems. We establish several instability phenomena illustrating the degeneracy of this completely integrable structure. We also ify the traveling waves for this system.
Équations de Schrödinger non linéaires, systèmes hamiltoniens intégrables, paires de Lax, opérateurs de Hankel
Nonlinear Schrödinger equations, Integrable Hamiltonian systems, Lax pairs, Hankel operators
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