Dans cet article, nous démontrons que, si un groupe $G$ agit géométriquement sur un espace CAT(0) $X$ qui est géodésiquement complet et qui contient au moins un point admettant un voisinage CAT(-1), alors $G$ doit être ou bien acylindriquement hyperbolique ou bien virtuellement cyclique. Par conséquent, le groupe fondamental d'une variété riemannienne compacte dont la courbure sectionnelle est négative ou nulle partout et strictement négative en au moins un point doit être acylindriquement hyperbolique ou virtuellement cyclique. Cet énoncé propose une interprétation précise et moderne d'une idée de Gromov décrite dans Asymptotic invariants of infinite groups.