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Les paires duales dans les algèbres de Lie réductives

Hubert RUBENTHALER
Les paires duales dans les algèbres de Lie réductives
  • Année : 1994
  • Tome : 219
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 174B20, 17B25, 17B10
  • Nb. de pages : 140
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.250

Soit $\mathfrak {g}$ une algèbre de Lie réductive sur $\mathbb {C}$. Un couple $(\mathfrak {a},\mathfrak {b})$ de sous-algèbres de $\mathfrak {g}$ est appelé paire duale si : 1 - Les représentations adjointes de $\mathfrak {a}$ et $\mathfrak {b}$ dans $\mathfrak {g}$ sont complètement réductibles. 2 - La sous-algèbre $\mathfrak {a}$ est le centralisateur de $\mathfrak {b}$ dans $\mathfrak {g}$ et vice-versa. Cet article donne une ification complète de toutes les paires duales dans toutes les algèbres de Lie réductives sur $\mathbb {C}$ (sous une certaine condition d'irréductibilité sur la paire $(\mathfrak {a},\mathfrak {b})$ appelée S-irréductibilité, qui signifie que la paire ne peut pas être plongée dans une sous-algèbre régulière propre). En même temps, notre méthode de ification développe un formalisme qui donne de manière très naturelle beaucoup de tours duales dans les algèbres de Lie exceptionnelles. Voici les grandes lignes de notre construction. Si $\Psi $ est une base des racines de $\mathfrak {g}$ par rapport à une sous-algèbre de Cartan, nous associons à un sous-ensemble “admissible” $\theta $ de $\Psi $ une famille $\mathfrak {g}_\mathfrak {i}$ de sous-algèbres simples, chacune étant équipée naturellement d'une paire duale très simple $(\mathfrak {a}_\mathfrak {i},\mathfrak {b}_\mathfrak {i})$ où $\mathfrak {a}_\mathfrak {i}$ est isomorphe à $\mathfrak {sl}_2$. Cette famille $\mathfrak {a}_\mathfrak {i}$ (de sous-algèbres toutes isomorphes à $\mathfrak {sl}_2$) engendre alors une sous-algèbre $\mathfrak {a}$ qui sera l'un des membres d'une paire duale. Mis à part un très petit nombre d'exceptions, qui sont bien contrôlées et décrites, toutes les paires duales S-irréductibles s'obtiennent par ce procédé.

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