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Limites de seuils log canoniques

Limits of log canonical thresholds

Tommaso de Fernex, Mircea Musta,tă
Limites de seuils log canoniques
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  • Année : 2009
  • Fascicule : 3
  • Tome : 42
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14B05; 03H05, 14E30
  • Pages : 491-515
  • DOI : 10.24033/asens.2100
Dans cet article, nous analysons les ensembles $\mathcal {T}_n$ de seuils log canoniques de paires $(X,Y)$, où $X$ est une variété lisse de dimension $n$, et $Y$ est un sous-schéma fermé non-vide de $X$. En employant des méthodes non-standard, nous montrons que chaque limite d'une suite strictement décroissante de $\mathcal {T}_n$ appartient à l'ensemble $\mathcal {T}_{n-1}$ (ce résultat a été conjecturé par J. Kollár dans ses travaux sur le sujet). Nous montrons également que l'ensemble $\mathcal {T}_n$ est fermé dans $\mathbf R$, et en déduisons que les valeurs adhérentes de l'ensemble des seuils log canoniques des pairs $(X,Y)$ sont rationnelles, si la dimension de $X$ est majorée. Une autre conséquence de nos résultats concerne la conjecture ACC de Shokurov pour les $\mathcal {T}_n$. En effet, nous montrons qu'elle est une conséquence de l'énoncé suivant : pour tout $n$, la valeur $1$ ne peut pas être obtenue comme limite d'une suite strictement croissante de nombres contenus dans $\mathcal {T}_n$. Dans une autre perspective, nous interprétons la conjecture ACC comme une propriété de semi-continuité de seuils log canoniqes des séries formelles.
Let $\mathcal {T}_n$ denote the set of log canonical thresholds of pairs $(X,Y)$, with $X$ a nonsingular variety of dimension $n$, and $Y$ a nonempty closed subscheme of $X$. Using non-standard methods, we show that every limit of a decreasing sequence in $\mathcal {T}_n$ lies in $\mathcal {T}_{n-1}$, proving in this setting a conjecture of Kollár. We also show that $\mathcal {T}_n$ is closed in $\mathbf R$ ; in particular, every limit of log canonical thresholds on smooth varieties of fixed dimension is a rational number. As a consequence of this property, we see that in order to check Shokurov's ACC Conjecture for all $\mathcal {T}_n$, it is enough to show that $1$ is not a point of accumulation from below of any $\mathcal {T}_n$. In a different direction, we interpret the ACC Conjecture as a semi-continuity property for log canonical thresholds of formal power series.
Seuils log canoniques, idéaux multiples, ultra-filtres, résolution de singularités
Log canonical threshold, multiplier ideals, ultrafilter, resolution of singularities