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Linearization of group stack actions and the Picard group of the moduli of $\mathrm {SL}_r/\mu _s$-bundles on a curve

Linearization of group stack actions and the Picard group of the moduli of $\mathrm {SL}_r/\mu _s$-bundles on a curve

Yves Laszlo
Linearization of group stack actions and the Picard group of the moduli of $\mathrm {SL}_r/\mu _s$-bundles on a curve
  • Année : 1997
  • Fascicule : 4
  • Tome : 125
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 529-545
  • DOI : 10.24033/bsmf.2316
Dans cet article, on considère les morphismes de champs algébriques ${\mathcal X}\to {\mathcal Y}$ qui sont des torseurs sous un champ en groupes $\mathcal G$. Nous prouvons que les fibrés en droites sur $\mathcal Y$ correspondent exactement aux fibrés en droites sur $\mathcal X$ munis d'une $\mathcal G$-linéarisation (avec une définition convenable d'une $\mathcal G$-linéarisation). Nous utilisons ceci pour déterminer la structure exacte du groupe de Picard du champ des $G$-fibrés sur une courbe algébrique lorsque $G$ est un groupe algébrique (non nécessairement simplement connexe) de type $A_n$.
In this paper, we consider morphisms of algebraic stacks ${\mathcal X}\to {\mathcal Y}$ which are torsors under a group stack $\mathcal G$. We show that line bundles on $\mathcal Y$ correspond exactly with $\mathcal G$-linearized line bundles on $\mathcal X$ (with a suitable definition of a $\mathcal G$-linearization). We use this fact to determine the precise structure of the Picard group of the moduli stack of $G$-bundles on an algebraic curve when $G$ is any group of type $A_n$.
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