SMF

Microlocalisation of $\mathcal {D}$-modules along a submanifold

Teresa Monteiro Fernandes
Microlocalisation of $\mathcal {D}$-modules along a submanifold
  • Année : 1995
  • Fascicule : 2
  • Tome : 123
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 58~G~07, 35~D~10
  • Pages : 293-327
  • DOI : 10.24033/bsmf.2261
Soit $X$ une variété analytique complexe. Dans [K-S1], Kashiwara et Schapira ont défini et étudié un bifoncteur $\mu \mathrm {hom}$ dans $D^{b}(X)$ qui généralise le foncteur de microlocalisation de [SKK]. A peu près au même moment, Kashiwara et Kawai on introduit dans [K-K3] un bifoncteur dans la catégorie des systèmes holonomes réguliers. Si l'on se donne un couple $(\mathcal {M},\mathcal {N})$ de tels systèmes, ce foncteur consiste à microlocaliser le produit formel $\mathcal {M}\mathrel {\underline {\boxtimes }}\mathcal {N}$ le long de la diagonale de $X\times X$, considérée comme un $\mathcal {D}_{T^{*}X}$-module. Le but principal de cet article est de mettre en rapport les fonctorialités de la spécialisation et de la microlocalisation ; nous montrons en particulier que le bifoncteur de [K-K3], que nous notons $\underline {\mu \mathrm {hom}}$, est l'analogue du bifoncteur de [K-S1] via le foncteur de De Rham (Théorème 3.2) dans le cadre des $\mathcal {D}$-modules. Nous n'exigeons pas que $\mathcal {M}$ et $\mathcal {N}$ soient holonomes réguliers puisque la propriété essentielle de $\underline {\mu \mathrm {hom}}(\mathcal {M},\mathcal {N})$ est la régularité de $\mathcal {M}\mathrel {\underline {\boxtimes }}\mathcal {N}$ le long de $\Delta $.
The analogues of specialisation and Fourier-Sato transform for sheaves were introduced in the framework of systems of holomorphic differential equations ($\mathcal {D}$-Modules) by Kashiwara, Hotta, Malgrange, Verdier, Brylinsky et al., with a special insight for regular holonomic systems. With these tools we study a bifunctor on a category of $\mathcal {D}$-Modules which satisfy a regularity condition and prove that it is the analogue of the bifunctor $\underline {\mu \mathrm {hom}}$ of Kashiwara-Schapira. This category is larger than that of regular holonomic systems.
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