L'exacte mesure de Hausdorff des trajectoires du mouvement brownien transient, indexé sur un espace euclidien $\mathbb{R}^{p}$, $p\geqslant2$, est associée à la fonction déterminante $\phi(x)=x^{2p}log log(1/x)$, ce qui résout un problème posé par P. Levy. L'approche adoptée pour démontrer ce résultat repose sur les idées développées par P. Levy, Z. Ciesielski et S.J. Taylor dans l'étude du processus à indice scalaire. Pour pouvoir être appliquées ces méthodes nécessitent une information suffisamment précise sur la "structure de dépendance" et sur la "distribution du maximum". Dans ce but, deux théorèmes de prédiction sont établis, leurs preuves reposant sur :
a) la décomposition du processus en harmoniques sphériques découverte par H.P. McKean ;
b) la représentation de I.J. Schoenberg de la fonction de covariance.
Par la suite, un encadrement convenable de la distribution du maximum absolu est obtenu, le processus étant restreint à un cylindre approprié ; ce dernier résultat s'appuie sur une technique de perturbation et exploite un théorème général de comparaison des distributions du maximum absolu pour les processus gaussiens.