Nous relions l'asymptotique des invariants de Turaev-Viro $TV_r$ pour $r$ grand à la norme de Gromov. Nous montrons que pour toute variété de dimension $3$ orientable compacte $M$, à bord vide ou torique, $\log |TV_r(M)|$ est inférieur à $Cr||M||$ où $C$ est une constante universelle. Nous obtenons un critère topologique garantissant la croissance exponentielle; c'est-à-dire ${\log| TV_r (M)|\geqslant B r}$, pour un certain $B>0,$ et nous construisons des familles de variétés hyperboliques dont les invariants de Turaev-Viro croissent exponentiellement.Ces constructions sont essentielles pour des travaux des auteurs en lien avec une conjecture d'Andersen, Masbaum et Ueno.

Nous démontrons aussi que, comme pour la norme de Gromov, les invariants de Turaev-Viro décroissent par remplissage de Dehn.

Enfin, nous contruisons des variétés de dimension $3,$ de norme de Gromov nulle et non-nulle, dont les invariants de Turaev-Viro déterminent la norme de Gromov.