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Normes de Gromov et invariants de Turaev-Viro des 3-variétés

Gromov norm and Turaev-Viro invariants of 3-manifolds

Renaud DETCHERRY & Efstratia KALFAGIANNI
Normes de Gromov et invariants de Turaev-Viro des 3-variétés
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 6
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 57M27, 57M50, 57R56, 81R50
  • Pages : 1363-1391
  • DOI : 10.24033/asens.2449

Nous relions l'asymptotique des invariants de Turaev-Viro $TV_r$ pour $r$ grand à la norme de Gromov. Nous montrons que pour toute variété de dimension $3$ orientable compacte $M$, à bord vide ou torique, $\log |TV_r(M)|$ est inférieur à $Cr||M||$ où $C$ est une constante universelle. Nous obtenons un critère topologique garantissant la croissance exponentielle; c'est-à-dire ${\log| TV_r (M)|\geqslant B r}$, pour un certain $B>0,$ et nous construisons des familles de variétés hyperboliques dont les invariants de Turaev-Viro croissent exponentiellement.Ces constructions sont essentielles pour des travaux des auteurs en lien avec une conjecture d'Andersen, Masbaum et Ueno.

Nous démontrons aussi que, comme pour la norme de Gromov, les invariants de Turaev-Viro décroissent par remplissage de Dehn.

Enfin, nous contruisons des variétés de dimension $3,$ de norme de Gromov nulle et non-nulle, dont les invariants de Turaev-Viro déterminent la norme de Gromov.

 

We establish a relation between the "large r'' asymptotics of the Turaev-Viro invariants $TV_r$ and the Gromov norm of 3-manifolds. We show that for any orientable, compact 3-manifold $M$, with (possibly empty) toroidal boundary, $\log |TV_r (M)|$ is bounded above by $Cr||M||$ for some universal constant $C.$ We obtain topological criteria for the growth to be exponential; that is $\log| TV_r (M)|\geqslant B r$, for some $B>0$, and construct infinite families of hyperbolic 3-manifolds whose Turaev-Viro invariants grow exponentially.These constructions are essential for related work of the authors which makes progress on a conjecture of Andersen, Masbaum and Ueno.

We also show that, like the Gromov norm, the values of the invariants $TV_r$ do not increase under Dehn filling.
Finally we give constructions of 3-manifolds, both with zero and non-zero Gromov norm, for which the Turaev-Viro invariants determine the Gromov norm.

Norme de Gromov, remplissage de Dehn, 3-variétés, volume hyperbolique, invariants de Turev-Viro, Witten-Reshetikhin-Turaev TQFT, conjecture de volume
Gromov norm, Dehn filling, 3-manifolds, hyperbolic volume, Turaev-Viro invariants, Witten-Reshetikhin-Turaev TQFT, volume conjecture

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