Pour un groupe de Lie réel simple $G$, ayant pour sous-groupe parabolique de Heisenberg $P$, nous étudions les représentations de la série principale dégénérée associées à ces données. La représentation minimale peut être identifiée au noyau du système d’opérateurs différentiels conformément invariants construit par Barchini, Kable et Zierau, pour un paramètre d’induction convenable. Pour étudier cette représentation, nous utilisons la transformation de Fourier pour le groupe d’Heisenberg dans la réalisation non-compacte et nous prouvons que cela conduit à une nouvelle réalisation de la représentation minimale sur un espace de fonctions L2. L’action de l’algèbre de Lie est donnée par des opérateurs différentiels d’ordre ≤ 3 et nous trouvons des formules explicites pour les fonctions réalisant les K-types minimaux.

Ces modèles $L^2$- étaient construits pour les groupes $\mathrm{SO}(n,n)$, $E_{6(6)}$, $E_{7(7)}$ and $E_{8(8)}$ par Kazhdan et Savin, pour le groupe $G_{2(2)}$ par Gelfand, et pour le groupe $\widetilde{\mathrm{SL}}(3,\mathbb{R})$ par Torasso, en utilisant différentes méthodes. Notre nouvelle approche fournit un traitement uniforme et systématique de ces exemples et construit également des nouveaux modèles $L^2$ pour $E_{6(2)}$, $E_{7(-5)}$ et $E_{8(-24)}$, pour lesquels la représentation minimale est un prolongement de la série discrète quaternionique, ainsi que pour les groupes $\widetilde{\mathrm{SO}}(p,q)$ pour $p\geq q=3$ or $p,q\geq4$ and $p+q$ even.

Comme conséquence de notre construction, nous trouvons une formule explicite pour l’action d’un élément non trivial du groupe de Weyl qui, en addition à l’action simple d’un sous-groupe parabolique, génère le groupe G.