Opérations stables et instables en cobordisme algébrique
Stable and Unstable Operations in Algebraic Cobordism
Anglais
Nous décrivons les opérations additives (instables) d'une théorie $A^*$ obtenue par changement de coefficients à partir du cobordisme algébrique de Levine-Morel vers une théorie cohomologique orientée quelconque $B^*$ (sur un corps de caractéristique nulle). Nous établissons une correspondance bijective entre les opérations $A^n\rightarrow B^m$ et les familles de morphismes $A^n(({\Bbb{P}}^{\infty})^{\times r})\rightarrow B^m(({\Bbb{P}}^{\infty})^{\times r})$ satisfaisant certaines propriétés simples. Cela fournit une manière effective de construire de telles opérations. Comme application, nous prouvons que les opérations additives (instables) internes au cobordisme algébrique sont en correspondance bijective avec les combinaisons ${\Bbb{L}}\otimes_{{\Bbb{Z}}}{\Bbb{Q}}$-linéaires des opérations de Landweber-Novikov. Nous montrons également que les opérations multiplicatives $A^*\rightarrow B^*$ sont en correspondance bijective avec les morphismes entre les lois de groupes formels respectives. Nous construisons des opérations d'Adams sans dénominateurs en cobordisme algébrique et en toute théorie obtenue à partir du cobordisme algébrique par changement de coefficients, qui étendent les opérations classiques d'Adams en K-théorie. Nous construisons également des opérations symétriques et de Steenrod (à la T. tom Dieck) en cobordisme algébrique, pour tout nombre premier. (Seules les opérations symétriques pour le nombre premier 2 étaient définies auparavant). Enfin, nous prouvons le théorème de Riemann-Roch pour les opérations additives, ce qui généralise le cas multiplicatif traité en [18].