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Indépendance algébrique de $G$-fonctions et congruences à la Lucas

Algebraic independence of $G$-functions and congruences "à la Lucas"

Boris ADAMCZEWSKI, Jason P. BELL, Éric DELAYGUE
Indépendance algébrique de $G$-fonctions et congruences à la Lucas
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  • Année : 2019
  • Fascicule : 3
  • Tome : 52
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11J81; 11B85, 05.10, 12H99
  • Pages : 515-559
  • DOI : 10.24033/asens.2392

Nous développons une nouvelle méthode pour démontrer l'indépendance algébrique de $G$-fonctions. Notre approche repose sur l'observation suivante : une $G$-fonction est toujours solution d'une équation différentielle linéaire mais elle est aussi parfois solution d'une infinité d'équations aux différences linéaires associées au Frobenius que l'on obtient par réduction modulo des idéaux premiers.
Lorsque ces équations aux différences linéaires sont d'ordre un, les coefficients de la $G$-fonction correspondante satisfont des congruences rappelant un théorème classique de Lucas sur les coefficients binomiaux. Nous utilisons cette propriété pour en déduire un critère d'indépendance algébrique "à la Kolchin". Nous montrons que ce critère est pertinent en démontrant que de nombreuses familles classiques de $G$-fonctions satisfont des congruences "à la Lucas".

 We develop a new method for proving algebraic independence of $G$-functions.  
Our approach rests on the following observation: $G$-functions do not always come with a single linear differential equation, but also sometimes with an infinite family of linear difference equations associated with the Frobenius that are obtained by reduction modulo prime ideals.
When these linear difference equations have order one, the coefficients of the corresponding $G$-functions satisfy  congruences reminiscent of a classical theorem of Lucas on binomial coefficients. We use this to  derive a Kolchin-like criterion for algebraic independence.  We show the relevance of this criterion by proving that many classical families of $G$-functions turn out to satisfy congruences "à la Lucas".

Indépendance algébrique, $G$-fonctions, congruences, propriété $p$-Lucas, théorème de Kolchin, asymptotique
Algebraic independence, $G$-functions, congruences, $p$-Lucas property, Kolchin's theorem, asymptotic
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