Soit $A$ une $k$-superalgèbre associative supercommutative avec unité et soit $\mathcal {L}$ une $k$-$A$-superalgèbre de Lie. À partir de ces données, on peut construire une superalgèbre d'opérateurs différentiels $\mathcal {V}(A,\mathcal {L})$ (généralisant la superalgèbre enveloppante d'une superalgèbre de Lie). Supposons que le corps de base soit de caractéristique $0$ et que $\mathcal {L}$ soit un $A$-module projectif de type fini. Le but de cet article est d'étudier la dualité de Poincaré pour les complexes de $\mathcal {V}(A,\mathcal {L})$-modules à gauche. Nous verrons que la dualité de Poincaré est satisfaite pour les complexes qui admettent une résolution projective finie. En utilisant notre résultat, nous démontrons des propriétés de dualité pour les représentations induites de superalgèbres de Lie. En particulier, nous montrons que, sous certaines hypothèses de finitude, le Ext-dual d'une représentation induite est une représentation induite.