Soient $Q_1, Q_2$ deux formes quadratiques et $u$ solution locale de l'équation de Schrödinger en dimension $2$ d'espace $(i\partial _t + \Delta )u = Q_1(u,\nabla _x u) + Q_2(\bar {u},\nabla _x \bar {u})$. Nous prouvons que si $Q_1$ et $Q_2$ dépendent effectivement des dérivées de $u$, et si la donnée de Cauchy est assez petite et assez décroissante à l'infini, la solution existe globalement en temps. La difficulté du problème réside dans le fait que la perturbation nonlinéaire est à longue portée, en ce sens qu'elle s'écrit comme un produit (d'une dérivée) de $u$ par un potentiel dont la norme $L^\infty $ en espace n'est pas intégrable lorsque $t \to +\infty $.