Nous démontrons des résultats de perturbation, ou de recollement, pour les équations de contrainte de la relativité générale. Les résultats sont obtenus par une étude du problème linéarisé dans des espaces à poids. On en déduit, entre autres, l'existence d'espaces-temps asymptotiquement simples, solutions des équations d'Einstein dans le vide.

Résumé détaillé
Nous étudions les propriétés de surjectivité de l'application de contraintes en relativité générale dans une large classe d'espaces fonctionnels à poids, généralisant ainsi une analyse de Corvino et Schoen. Comme corollaire on obtient plusieurs résultats de perturbation, de recollement, ou d'extension. Ainsi, nous démontrons l'existence d'espaces-temps non triviaux, sans singularités, solutions d'équations d'Einstein du vide, qui sont stationnaires dans un voisinage de $i^0$. Pour des données initiales proches de celles de Minkowski ceci conduit, sous une condition de parité approximative, à des espaces-temps avec un infini isotrope $\mathcal I$ global et lisse. Nous prouvons l'existence de données initiales pour des trous noirs multiples qui sont exactement kerriennes, ou exactement schwarzschildiennes, dans une région asymptotique, mais aussi près de chaque composante connexe de l'horizon apparent. Nous montrons que pour des métriques génériques les perturbations des données initiales introduites par les recollements du type Isenberg–Mazzeo–Pollack peuvent être localisées, de sorte que les données initiales sur la variété obtenue en prenant la somme connexe coïncident avec les données initiales originelles, sauf dans un petit voisinage de la zone de recollement. Nous prouvons l'existence de solutions asymptotiquement plates qui sont statiques ou stationnaires modulo des termes en $r^{-m}$, avec $m$ arbitrairement prescrit, et avec des moments multipolaires qu'on peut spécifier librement dans certains ouverts.