SMF

Sommes d'exponentielles cubiques dans l'anneau des polynômes en une variable sur le corps à 2 éléments, et application au problème de Waring

J. CHERLY
  • Année : 1991
  • Tome : 198-199-200
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Pages : 83-96
  • DOI : 10.24033/ast.83

L'exposé porte sur le problème de Waring pour un anneau de polynômes sur un corps fini $\mathbb {F}_q$. ce problème est complètement ouvert lorsque le degré des puissances est supérieur à la caractéristique de $\mathbb {F}_q$, “le premier” cas étant les commes de cubes dans $\mathbb {F}_2[X]$, c'est ce cas que nous avons étudié. Les deux piliers de ces résultats sont les majorations des sommes trigonométriques et l'encadrement de la série singulière. Nous obtenons ainsi par la méthode du cercle adapté à l'anneau $\mathbb {F}_2[X]$ en suivant Carlitz le résultat suivant : Les éléments $\mathbb {F}_2[X]$ qui peuvent s'exprimer comme une somme de cubes sont exactement ceux qui sont congrus à $0$ ou $1$ modulo $1+X+X^2$. En outre, soit M un tel élément de degré $\leq 3n$ ($n$ un entier suffisamment grand). On peut le représenter comme somme de $18$ cubes de polynômes dont chacun a son degré majoré par $n$.

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