Soient $p$ un nombre premier, $n>2$ un entier, et $F$ un corps à multiplication complexe dans lequel $p$ est complètement décomposé. Supposons qu'une représentation galoisienne automorphe continue $\overline{r}:\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/F)\rightarrow \mathrm{GL}_n(\overline{\mathbf{F}}_p)$ est triangulaire supérieure, Fontaine-Laffaille et suffisament générique (dans un certain sens) en une place $w$ au-dessus de $p$. On montre, en admettant un résultat d'élimination de poids de Serre, que la classe d'isomorphisme de $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/F_w)}$ est déterminée par l'action de $\mathrm{GL}_n(F_w)$ sur un espace de formes automorphes modulo $p$ découpé par l'idéal maximal associée à $\overline{r}$ dans une algèbre de Hecke. En particulier, on montre que la partie sauvagement ramifiée de $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/F_w)}$ est déterminée par l'action de sommes de Jacobi (vus comme éléments de $\mathbf{F}_p[\mathrm{GL}_n(\mathbf{F}_p)]$) sur cet espace.