Soit $F$ un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle $p$. Nous construisons le « bon » nombre de $\overline {\mathbf {F}}_p$-représentations lisses et irréductibles de $\mathrm {GL}_2(F)$ qui sont supersingulières au sens de Barthel et Livné. Si $F=\mathbf {Q}_p$, les résultats de Breuil impliquent alors que notre construction donne toutes les représentations supersingulières à la torsion près par un quasi-caractère non ramifié. Nous conjecturons que ceci reste vrai pour $F$ quelconque.