Nous montrons dans ce mémoire que la $\mathrm {MU}$-cohomologie continue des espaces fonctionnels de source le classifiant $\mathrm {B} \pi$ d'un groupe de Lie compact commutatif et de but le pro-$p$-complété d'un espace dont la cohomologie à coefficients dans les entiers $p$-adiques est sans torsion est l'image de la $\mathrm {MU}$-cohomologie complétée en $p$ de l'espace au but par un foncteur $\mathrm {T}_{\mathrm {B} \pi }$ analogue au foncteur $\mathrm {T}$ associé à la cohomologie modulo $p$ du classifiant du groupe cyclique d'ordre $p$.