SMF

Étude quantitative de la métastabilité des processus réversibles au moyen du complexe de Witten : le cas à bord.

Quantitative analysis of metastability in reversible diffusion processes via a Witten complex approach : the case with boundary

Bernard Helffer, Francis Nier
  • Année : 2006
  • Tome : 105
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 58J10, 58J32, 58J65, 60J60, 81Q10, 81Q20
  • Nb. de pages : vi+89
  • ISBN : 978-2-85629-218-1
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.417
Cet article prolonge des travaux antérieurs de Bovier-Eckhoff-Gayrard-Klein, Bovier-Gayrard-Klein et Helffer-Klein-Nier. L'objet principal en est l'analyse des petites valeurs propres du Laplacien associé à la forme quadratique $ C_0^\infty (\Omega )\ni v \mapsto h^2 \,\int _{\Omega }\left |\nabla v (x)\right |^2\;e^{-2f(x)/h}~dx\;, $ où $\Omega $ est un domaine borné régulier et $f$ est une fonction de Morse sur $M=\overline {\Omega }$. Les travaux précédents traitaient le cas d'une variété compacte $M$ sans bord ou le cas $M=\rz ^{n}$. Ici nous analysons le cas d'une variété compacte à bord. Après l'introduction d'un complexe de cohomologie de Witten adapté au cas à bord, nous donnons une description très précise des valeurs propres exponentiellement petites. En particulier, nous traitons l'effet du bord sur les développements asymptotiques.
This article is a continuation of previous works by Bovier-Eckhoff-Gayrard-Klein, Bovier-Gayrard-Klein and Helffer-Klein-Nier. The main object is the analysis of the small eigenvalues (as $h\ar 0$) of the Laplacian attached to the quadratic form $ C_0^\infty (\Omega )\ni v \mapsto h^2 \,\int _{\Omega }\left |\nabla v (x)\right |^2\;e^{-2f(x)/h}~dx\;, $ where $\Omega $ is a bounded connected open set with $C^\infty $-boundary and $f$ is a Morse function on $M=\overline {\Omega }$. The previous works were devoted to the case of a manifold $M$ which is compact but without boundary or $\rz ^n$. Our aim is here to analyze the case with boundary. After the introduction of a Witten cohomology complex adapted to the case with boundary, we give a very accurate asymptotics for the exponentially small eigenvalues. In particular, we analyze the effect of the boundary in the asymptotics.
Complexe de Witten, Développements semi iques, valeurs propres exponentiellement petites, variétés à bord
Witten complex, Semi ical expansion, exponentially small quantities, manifolds with boundary
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