Étude quantitative de la métastabilité des processus réversibles au moyen du complexe de Witten : le cas à bord.
Quantitative analysis of metastability in reversible diffusion processes via a Witten complex approach: the case with boundary
Anglais
Cet article prolonge des travaux antérieurs de Bovier–Eckhoff–Gayrard–Klein, Bovier–Gayrard–Klein et Helffer–Klein–Nier. L'objet principal en est l'analyse des petites valeurs propres du Laplacien associé à la forme quadratique$$ C_0^\infty (\Omega )\ni v \mapsto h^2 \,\int _{\Omega }\left |\nabla v (x)\right |^2\;e^{-2f(x)/h}~dx\;, $$où $\Omega $ est un domaine borné régulier et $f$ est une fonction de Morse sur $M=\overline {\Omega }$. Les travaux précédents traitaient le cas d'une variété compacte $M$ sans bord ou le cas $M=\mathbb{R}^{n}$. Ici nous analysons le cas d'une variété compacte à bord. Après l'introduction d'un complexe de cohomologie de Witten adapté au cas à bord, nous donnons une description très précise des valeurs propres exponentiellement petites. En particulier, nous traitons l'effet du bord sur les développements asymptotiques.