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Temps lisses d'un flot en dimension $1$

Smooth times of a flow in dimension $1$

Hélène EYNARD-BONTEMPS
Temps lisses d'un flot en dimension $1$
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  • Année : 2024
  • Fascicule : 1
  • Tome : 57
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37C05, 37C10, 37E05 (37C15, 37E10, 37E45
  • Pages : 143-183
  • DOI : 10.24033/asens.2572

Soit $𝛼$ un nombre irrationnel et $I$ un intervalle de $ℝ$. Si $𝛼$ est diophantien, on montre que tout groupe à un paramètre d'homéomorphismes de $I$ dont les temps $1$ et $𝛼$ sont de classe $C^\infty$ est en fait le flot d'un champ de vecteurs $C^\infty$. Si au contraire $𝛼$ est de Liouville, on construit un groupe à un paramètre d'homéomorphismes de $I$ dont les temps $1$ et $𝛼$ sont de classe $C^\infty$ mais qui n'est pas le flot d'un champ de vecteurs $C^2$ (toutefois, si $I$ a un bord non vide, on explique qu'il s'agit automatiquement du flot d'un champ $C^1$). On étend ces deux résultats à des familles de nombres irrationnels, la condition arithmétique critique étant dans ce cas le caractère “simultanément diophantien”.

Pour des groupes à un paramètre définissant une action libre de $(ℝ,+)$ sur $I$, ces résultats découlent de célèbres théorèmes de linéarisation pour les difféomorphismes du cercle. La nouveauté de ce travail concerne les actions non libres.

 

Let $𝛼$ be an irrational number and $I$ an interval of $ ℝ$. If $𝛼$ is Diophantine, we show that any one-parameter group of homeomorphisms of $I$ whose time $1$ and time $𝛼$ maps are $C^\infty$ is in fact the flow of a $C^\infty$ vector field. If $𝛼$ is Liouville on the other hand, we construct a one-parameter group of homeomorphisms of $I$ whose time-$1$ and time-$𝛼$ maps are $C^\infty$ but which is not the flow of a $C^2$ vector field (though, if $I$ has boundary, we explain that the hypotheses force it to be the flow of a $C^1$ vector field). We extend both results to families of irrational numbers, the critical arithmetic condition in this case being simultaneous ``diophantinity''.

For one-parameter groups defining a free action of $(ℝ,+)$ on $I$, these results follow from famous linearization theorems for circle diffeomorphisms. The novelty of this work concerns non-free actions.

Homéomorphismes, difféomorphismes, champs de vecteurs et flots en dimension $1$, centralisateur, nombres diophantiens et de Liouville
Homeomorphisms, diffeomorphisms, vector fields and flows in dimension$1$, centralizer, Diophantine and Liouville numbers

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