Soit $𝛼$ un nombre irrationnel et $I$ un intervalle de $ℝ$. Si $𝛼$ est diophantien, on montre que tout groupe à un paramètre d'homéomorphismes de $I$ dont les temps $1$ et $𝛼$ sont de classe $C^\infty$ est en fait le flot d'un champ de vecteurs $C^\infty$. Si au contraire $𝛼$ est de Liouville, on construit un groupe à un paramètre d'homéomorphismes de $I$ dont les temps $1$ et $𝛼$ sont de classe $C^\infty$ mais qui n'est pas le flot d'un champ de vecteurs $C^2$ (toutefois, si $I$ a un bord non vide, on explique qu'il s'agit automatiquement du flot d'un champ $C^1$). On étend ces deux résultats à des familles de nombres irrationnels, la condition arithmétique critique étant dans ce cas le caractère “simultanément diophantien”.

Pour des groupes à un paramètre définissant une action libre de $(ℝ,+)$ sur $I$, ces résultats découlent de célèbres théorèmes de linéarisation pour les difféomorphismes du cercle. La nouveauté de ce travail concerne les actions non libres.