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Théorème de Lévy-Khintchin pour les meilleures approximations diophantiennes simultanées

Lévy-Khintchin Theorem for best simultaneous Diophantine approximations

Yitwah CHEUNG, Nicolas CHEVALLIER
Théorème de Lévy-Khintchin pour les meilleures approximations diophantiennes simultanées
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  • Année : 2024
  • Fascicule : 1
  • Tome : 57
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11J13, 11J83, 11K55, 37A17
  • Pages : 185-240
  • DOI : 10.24033/asens.2573

Nous étendons deux résultats sur le développement en fraction continue ordinaire aux meilleures approximations diophantiennes simultanées  de vecteurs ou de matrices. Le premier résultat est le théorème de Lévy-Kintchin sur le taux de croissance presque sûr des dénominateurs des réduites. Le second est un théorème de Doeblin et de Bosma, Jager et Wiedijk sur la distribution presque sûre de la suite des produits $ q_n d (q_n \theta, ℤ) $ où les $ q_n $  sont les dénominateurs des réduites associées au nombre réel $ \theta $ par l'algorithme des fractions continues ordinaire. En dehors de ces deux  résultats principaux, nous montrons que lorsque $ d \geq 2 $, pour presque tous les vecteurs $ \theta \in ℝ ^ d $, ${\liminf_ {n \rightarrow \infty} q_{n+k} d (q_n \theta, ℤ^d)^{d} = 0}$ pour tous les entiers positifs $ k $, où $ (q_n) _ {n \in N} $ est la suite des dénominateurs des meilleures approximations de $ \theta $.

We extend two results about the ordinary continued fraction expansion to best simultaneous Diophantine approximations of vectors or matrices. The first result is the Lévy-Khintchin theorem about the almost sure growth rate of the denominators of the convergents. The second result is a theorem of Doeblin and of Bosma, Jager and Wiedijk about the almost sure limit distribution of the sequence of products  $q_nd(q_n\theta,ℤ)$ where the $q_n$'s are the denominators of the convergents associated with the real number $\theta$ by the ordinary continued fraction algorithm. Besides these two main results, we show that when $d\geq 2$, for almost all vectors $\theta\in ℝ^d$, $\liminf_{n\rightarrow\infty} q_{n+k}d(q_n\theta,ℤ^d)^d=0$ for all positive integers $k$, where $(q_n)_{n\in N}$ is the sequence of best approximation denominators of $\theta$.

Meilleures approximations diophantiennes, théorie ergodique, flot diagonal
Best Diophantine approximations, ergodic theory, diagonal flow

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