Pour un espace topologique $X$ une contraction topologique sur $X$ est une application $f:X\to X$ telle que pour tout recouvrement ouvert de $X$, il existe un nombre entier positif $n$ tel que l'image de $X$ par la $n$-ième itération de $f$ est un sous-ensemble d'un élément du recouvrement. Toute contraction topologique dans un espace compact $T_1$ poss\`ede un unique point fixe. Comme dans le cas des espaces métriques et du théorème classique de Banach, cet analogue du théorème de Banach est vrai non seulement pour les espaces $T_1$ compacts mais aussi pour les espaces $T_1$ complets. Kupka a introduit la notion de contraction topologique faible et il a démontré l'existence d'un unique point fixe pour de telles applications ayant le graph fermé sans supposer la compacité ou la complétude de l'espace considéré. En particulier, pour les espaces de Hausdorff ce théorème implique l'existence d'un point fixe pour les contractions faibles continues. Nous démontrons un analogue de ce fait pour les contractions faibles fermées pour les espaces de Hausdorff à bases dénombrable de voisinages. Ces théorèmes sont utilisés pour démontrer l'existence de points fixes d'applications sur des sous-ensembles d'espaces vectoriels munis de topologie faibles et sur les monoïds compacts. Nous démontrons aussi quelques résultats concernant de points fixes pour des espaces topologiques $T_1$ localement Hausdorff et pour les espaces périphériquements Hausdorff, introduits ici. Un système  de fonctions itérés, SFI, dans un espace topologique $X$ est une famille finie d'applications fermées de $X$ dans lui-même. Un SFI est contractant si pout tout recouvrement ouvert de $X$ il exist un nombre entier positif $n$ tel que l'image de $X$ par toute composition de $n$ applications de SFI est contenu dans un élément du recouvrement. Nous démontrons que dans les espaces topologiques $T_1$ compacts l'opérateur de Hutchinson d'un SFI contractant, considéré comme une applications dans l'hyperespace des ensembles fermés de l'espace,  peut ne pas être fermé. Neanmoins, l'opérateur de Hutchinson d'un SFI contractant a toujours un unique point fixe.