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Une formule de Riemann-Roch-Hirzebruch pour les traces d'opérateurs différentiels

A Riemann-Roch-Hirzebruch formula for traces of differential operators

Markus ENGELI, Giovanni FELDER
Une formule de Riemann-Roch-Hirzebruch pour les traces d'opérateurs différentiels
  • Année : 2008
  • Fascicule : 4
  • Tome : 41
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 32L10 (16E40 32C38 32W30)
  • Pages : 623-655
  • DOI : doi.org/10.24033/asens.2077

Soit $D$ un opérateur différentiel holomorphe opérant sur les sections d’un fibré vectoriel holomorphe sur une variété complexe de dimension $n$. Nous démontrons une formule, conjecturée par Feigin et Shoikhet, donnant le nombre de Lefschetz de $D$ comme intégrale d’une forme différentielle sur la variété. La classe de cette forme différentielle est obtenue, via la géométrie différentielle formelle du générateur canonique de la cohomologie de Hochschild $HH^{2n}(\mathcal{D}_n,\mathcal{D}_n^∗)$ de l’algèbre des opérateurs différentiels sur un entourage formel d’un point. Si $D$ est l’identité, la formule se réduit à la formule de Riemann-Roch-Hirzebruch.

Let $D$ be a holomorphic differential operator acting on sections of a holomorphic vector bundle on an $n$-dimensional compact complex manifold. We prove a formula, conjectured by Feigin and Shoikhet, giving the Lefschetz number of $D$ as the integral over the manifold of a differential form. The class of this differential form is obtained via formal differential geometry from the canonical generator of the Hochschild cohomology $HH^{2n}(\mathcal{D}_n,\mathcal{D}_n^∗)$ of the algebra of differential operators on a formal neighbourhood of a point. If $D$ is the identity, the formula reduces to the Riemann-Roch-Hirzebruch formula.

 

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