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Une note sur les modules à descente infinie par Frobenius en caractéristique mixte

A note on Frobenius divided modules in mixed characteristics

Pierre Berthelot
Une note sur les modules à descente infinie par Frobenius en caractéristique mixte
     
                
  • Année : 2012
  • Fascicule : 3
  • Tome : 140
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 12H05, 12H25, 13A35, 13N10, 14F30, 16S32
  • Pages : 441-458
  • DOI : 10.24033/bsmf.2632
Si $X$ est un schéma lisse sur un corps parfait de caractéristique $p$, et si $\mathcal {D}^{(\infty })_X {X}$ est le faisceau des opérateurs différentiels sur $X$ [?], on sait que donner une action de $\mathcal {D}^{(\infty })_X {X}$ sur un $\mathcal {O}_X _X$-module $\mathcal {E} $ équivaut à donner une suite infinie de $\mathcal {O}_X _X$-modules descendant $\mathcal {E} $ par les itérés de l'endomorphisme de Frobenius de $X$ [?]. Nous montrons que ce résultat peut être généralisé au cas d'un morphism lisse $X \to S$ qui est une déformation infinitésimale d'un morphisme de caractéristique $p$, munie de relèvements des morphismes de Frobenius. Nous montrons aussi qu'il s'étend aux schémas formels adiques tels que $p$ appartienne à un idéal de définition. Ce résultat a été utilisé par dos Santos [?] pour relever les $\mathcal {D}^{(\infty })_X {X}$-modules de la caractéristique $p$ à la caractéristique $0$ en contrôlant le groupe de Galois différentiel du relèvement.
If $X$ is a smooth scheme over a perfect field of characteristic $p$, and if $\mathcal {D}^{(\infty })_X {X}$ is the sheaf of differential operators on $X$ [?], it is well known that giving an action of $\mathcal {D}^{(\infty })_X {X}$ on an $\mathcal {O}_X _X$-module $\mathcal {E} $ is equivalent to giving an infinite sequence of $\mathcal {O}_X _X$-modules descending $\mathcal {E} $ via the iterates of the Frobenius endomorphism of $X$ [?]. We show that this result can be generalized to any infinitesimal deformation $f : X \to S$ of a smooth morphism in characteristic $p$, endowed with Frobenius liftings. We also show that it extends to adic formal schemes such that $p$ belongs to an ideal of definition. In [?], dos Santos used this result to lift $\mathcal {D}^{(\infty })_X {X}$-modules from characteristic $p$ to characteristic $0$ with control of the differential Galois group.
$D$-modules, morphismes de Frobenius, théorie de la descente, théorie des déformations
$D$-modules, Frobenius morphism, descent theory, deformation theory


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