Le but de la théorie de l'homotopie, en topologie, c'est de simplifier, après déformation continue, des applications continues entre espaces topologiques. Ce qui empêche de le faire, ce sont des invariants homotopiques. Cela soulève des questions quantitatives :

- Le calcul des invariants est-il possible (décidable) ? Si oui, à quel coût ?

- Construire des représentants de faible complexité et dont les valeurs des invariants sont prescrites est-il possible ? Si oui, à quel coût ?

- Quelle est la complexité des déformations nécessaires ?

Les réponses, souvent récentes, sont d'une grande diversité. En outre, bien des questions restent ouvertes, montrant que la topologie n'a pas dit son dernier mot, même en basses dimensions