Dans cet article nous obtenons des formules exactes pour trois quantités de base en géométrie conforme aléatoire qui dépendent du module d'un anneau. La première concerne la loi du module de l'anneau brownien décrivant la limite d'échelle des cartes planaires aléatoires uniformes avec la topologie de l'anneau, comme prédit par la fonction de partition de la théorie des cordes bosoniques. La seconde concerne la loi du module de l'anneau délimité par une boucle du "conformal loop ensemble" (CLE) dans le disque et par le bord du disque. La formule {a été conjecturée}  à partir de la fonction de partition du modèle de boucle O$(n)$ sur l'anneau obtenue par Saleur-Bauer (1989) et Cardy (2006). La troisième formule concerne la fonction de partition sur l'anneau de l'ensemble de boucle SLE$_{8/3}$ introduite par Werner (2008), et confirmant une autre prédiction de Cardy (2006). Le principe physique qui sous-tend nos preuves est que la gravité quantique 2D couplée à un champ de matière conforme peut être décomposée en trois théories conformes des champs (CFT) : la CFT des champs de matière, la CFT de Liouville et la   {CFT fantôme}. Les techniques de preuve utilisent deux types d'intégrabilité dans la gravité quantique de Liouville, l'une à partir de la limite d'échelle des cartes planaires aléatoires, et l'autre venant de la CFT de Liouville.