Cet article fournit une solution définitive au problème de la description des classes de conjugaison dans les groupes de Coxeter arbitraires en termes de permutations cycliques.

Soit $ (W,S)$ un système de Coxeter. Une permutation cyclique d’un élément $ w\in W$ est un conjugué de $ w$ de la forme $ sws$ pour une réflexion simple $ s\in S$ telle que $ \ell_S(sws)\leq\ell_S(w)$. La classe de permutation cyclique de $ w$ est alors l’ensemble des éléments de $ W$ qui peuvent être obtenus à partir de $ w$ par une suite de permutations cycliques. Etant donné un sous-ensemble $ K\subseteq S$ tel que $ W_K:=\langle K\rangle\subseteq W$ est fini, on appelle aussi deux éléments $ w,w'\in W$ $ K$-conjugués si $ w,w'$ normalisent $ W_K$ et $ w'=w_0(K)ww_0(K)$, où $ w_0(K)$ est l’élement le plus long de $ W_K$.

Soit $ \mathcal O$ une classe de conjugaison dans $ W$, et soit $ \mathcal O^{\min}$ l’ensemble des éléments de longueur minimale dans $ \mathcal O$. Alors $ \mathcal O^{\min}$ est la réunion disjointe d’un nombre fini de classes de permutation cyclique $ C_1,\ldots,C_k$. On définit le graphe de conjugaison structurel associé à $ \mathcal O$ comme étant le graphe de sommets $ C_1,\ldots,C_k$, et avec une arête entre les sommets distincts $ C_i,C_j$ s’ils contiennent des représentants $ u\in C_i$ et $ v\in C_j$ tels que $ u,v$ sont $ K$-conjugués pour un certain $ K\subseteq S$.

Dans cet article, nous calculons explicitement le graphe de conjugaison structurel associé à toute classe de conjugaison (éventuellement tordue) dans $ W$, et montrons en particulier qu’il est connexe (autrement dit, deux éléments conjugués de $ W$ ne diffèrent que par une suite de permutations cycliques et de $ K$-conjugaisons). Chemin faisant, nous obtenons plusieurs résultats d’intérêt indépendant, comme une description du centralisateur d’un élément d’ordre infini $ w\in W$, ainsi que l’existence de décompositions naturelles de $ w$ comme produit d’une «partie de torsion» et d’une «partie rectiligne», avec des propriétés utiles.