L’un des principaux invariants dynamiques associés à un homéomorphisme de surface isotope à l’identité est son ensemble de rotation, décrivant les vitesses et directions asymptotiques moyennes selon lesquelles les points “tournent” autour de la surface sous l’action de l’homéomorphisme. Dans le cas d’un homéomorphisme du tore en particulier, de nombreux résultats relient la forme ou la taille de l’ensemble de rotation à des propriétés dynamiques de l’homéomorphisme.

Ce mémoire a pour but de généraliser au cas des surfaces de genre ≥ 2 un certain nombre de résultats connus sur le tore pour les homéomorphismes ayant un “gros” ensemble de rotation : positivité de l’entropie, réalisation de vecteurs de rotation par des points périodiques, déviations bornées, etc. L’outil principal utilisé est la théorie de forçage de Le Calvez et Tal, reposant sur la construction d’un feuilletage transverse et l’étude des trajectoires des points relativement à ce feuilletage.

Les deux premiers chapitres présentent des résultats préliminaires à ce cadre général. Au chapitre 3, nous menons une étude globale sur les cycles asymptotiques de points dont les trajectoires ont des directions homologiques qui s’intersectent. Nous montrons que cette situation suffit à assurer la positivité de l’entropie, ce qui permet d’aboutir à la généralisation de deux résultats connus sur le tore, les théorèmes de Llibre-Mackay et de Franks. Nous obtenons dans le cas d’une surface de genre ≥ 2 qu’un homéomorphisme ayant un “gros” ensemble de rotation a une entropie strictement positive, et nous parvenons à réaliser de nombreux points rationnels de l’ensemble de rotation comme vecteurs de rotation de points périodiques. Enfin, au chapitre 4, nous montrons à l’aide de ce dernier résultat qu’un homéomorphisme dont l’ensemble de rotation contient 0 dans son intérieur est à déviation bornée, généralisant encore une propriété connue sur le tore. Nous terminons avec diverses conséquences de ce résultat.