Du comptage exponentiel aux corrélations de paires
From exponential counting to pair correlations

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- Année : 2023
- Fascicule : 2
- Tome : 151
- Format : Électronique
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : 05A16, 11N45, 28A33, 37C35, 53C22; 26E99
- Pages : 171-193
- DOI : 10.24033/bsmf.2867
Nous montrons un résultat abstrait sur la corrélation des paires d'éléments dans une partie $\mathcal{E}$ of $[0,+\infty\mathclose[ $ discrète, croissant exponentiellement et munie d'une fonction de poids. Supposons qu'il existe $\alpha\in\mathbb{R}$ et $c,\delta>0$ tels que, quand $t\to+\infty$, le nombre pondéré $\widetilde{\omega}(t)$ d'éléments de $\mathcal{E}$ inférieurs à $t$ soit équivalent à $c\,t^\alpha e^{\delta t}$. Nous montrons que la fonction de répartition des différences d'éléments de $\mathcal{E}$ est $t\mapsto\frac\delta 2\,e^{-|t|}$, et que, sous condition d'existence d'un terme d'erreur sur $\widetilde{\omega}(t)$, la corrélation des paires pour un changement d'échelle à croissance au plus polynomiale admet un comportement poissonien. Nous utilisons ce résultat pour répondre à une question de Pollicott et Sharp sur la corrélation des paires de longueurs de géodésiques fermées et de perpendiculaires communes dans des variétés à courbure strictement négative et dans des graphes métriques.
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