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Du comptage exponentiel aux corrélations de paires

From exponential counting to pair correlations

Jouni PARKKONEN, Frédéric PAULIN
Du comptage exponentiel aux corrélations de paires
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 2
  • Tome : 151
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 05A16, 11N45, 28A33, 37C35, 53C22; 26E99
  • Pages : 171-193
  • DOI : 10.24033/bsmf.2867

Nous montrons un résultat abstrait sur la corrélation des paires d'éléments dans une partie $\mathcal{E}$ of $[0,+\infty\mathclose[ $ discrète, croissant exponentiellement et munie d'une fonction de poids. Supposons qu'il existe $\alpha\in\mathbb{R}$ et $c,\delta>0$ tels que, quand $t\to+\infty$, le nombre pondéré $\widetilde{\omega}(t)$ d'éléments de $\mathcal{E}$ inférieurs à $t$ soit équivalent à $c\,t^\alpha e^{\delta t}$. Nous montrons que la fonction de répartition des différences d'éléments de $\mathcal{E}$ est $t\mapsto\frac\delta 2\,e^{-|t|}$, et que, sous condition d'existence d'un terme d'erreur sur $\widetilde{\omega}(t)$, la corrélation des paires pour un changement d'échelle à croissance au plus polynomiale admet un comportement poissonien. Nous utilisons ce résultat pour répondre à une question de Pollicott et Sharp sur la corrélation des paires de longueurs de géodésiques fermées et de perpendiculaires communes dans des variétés à courbure strictement négative et dans des graphes métriques.

We prove an abstract result on the correlations of pairs of elements in an exponentially growing discrete subset $\mathcal{E}$ of $[0,+\infty\mathclose[ $ endowed with a weight function.  Assume that there exist $\alpha\in\mathbb{R}$, $c,\delta>0$ such that, as $t\to+\infty$, the weighted number $\widetilde{\omega}(t)$ of elements of $\mathcal{E}$ that are not greater than $t$ is equivalent to $c\,t^\alpha e^{\delta t}$. We prove that the distribution function of the differences of elements of $\mathcal{E}$ is $t\mapsto\frac\delta 2\,e^{-|t|}$, and that, under an error term assumption on $\widetilde{\omega}(t)$, the pair correlation with a scaling with polynomial growth exhibits a Poissonian behaviour.  We apply this result to answer a question of Pollicott and Sharp on the pair correlations of lengths of closed geodesics and common perpendiculars in negatively curved manifolds and metric graphs.

Corrélation de paires, fonction de comptage, fonction de croissance, équidistribution, géodésiques fermées, perpendiculaires
Pair correlation, counting function, growth function, equidistribution, closed geodesics, common perpendiculars

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