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Une variété de Debarre-Voisin spéciale

A special Debarre-Voisin fourfold

Jieao SONG
Une variété de Debarre-Voisin spéciale
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 2
  • Tome : 151
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14J35, 14J50
  • Pages : 305-330
  • DOI : 10.24033/bsmf.2870

Considérons le groupe simple fini $\mathbf{G}:=\mathrm{PSL}(2,\mathbf{F}_{11})$ d'ordre 660, qui admet une représentation irréductible $V_{10}$ de dimension $10$. Nous allons étudier un trivecteur $\sigma_0\in \bigwedge^3 V_{10}^\vee$ qui est $\mathbf{G}$-invariant. En suivant la construction de Debarre-Voisin, nous obtenons une variété hyperkählérienne $X_6^{\sigma_0}\subset\mathrm{Gr}(6,V_{10})$ lisse de dimension $4$ avec beaucoup de symétries. Nous allons aussi étudier la variété de Peskine associée $X_1^{\sigma_0}\subset \mathbf{P}(V_{10})$, qui admet $55$ points singuliers isolés et est également très symétrique. Cette dernière nous permet de mieux comprendre la géométrie de la variété spéciale $X_6^{\sigma_0}$. Nous discuterons aussi d'une application de cet exemple à la géométrie globale de l'espace de modules des variétés de Debarre-Voisin.

Consider the finite simple group $\mathbf{G}:=\mathrm{PSL}(2,\mathbf{F}_{11})$ of order $660$, which has an irreducible representation $V_{10}$ of dimension $10$. In this note, we study a special trivector $\sigma_0\in \bigwedge^3 V_{10}^\vee$ that is $\mathbf{G}$-invariant. Following the construction of Debarre-Voisin, we obtain a smooth hyperkähler fourfold $X_6^{\sigma_0}\subset\mathrm{Gr}(6,V_{10})$ with many symmetries. We will also look at the associated Peskine variety $X_1^{\sigma_0}\subset \mathbf{P}(V_{10})$, which is highly symmetric as well and admits $55$ isolated singular points. It will help us to better understand the geometry of the special Debarre-Voisin fourfold $X_6^{\sigma_0}$. We also discuss an application of this example to the global geometry of the moduli space of Debarre-Voisin fourfolds.

ariétés hyperkählériennes, groupe d'automorphismes des variétés
Hyperkähler manifolds, automorphisms of varieties

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